Approximation de l'identité
\((\rho_\varepsilon)_{\varepsilon\gt 0}\)
Fonctions définies par : $$\rho_\varepsilon:x\mapsto\frac1{\varepsilon^d}\rho\left(\frac x\varepsilon\right)$$
- hypothèses sur \(\rho\) : \(\rho\in L^1({\Bbb R}^d)\), \(\operatorname{supp}(\rho)\subset B^\prime(0,1)\), \(\rho\geqslant0\) et \(\int\rho=1\)
- c'est une approximation de l'identité pour la Convolution : si \(g\) \(\in L^p({\Bbb R}^d)\) avec \(p\in[1,+\infty[\), alors...
- \(\lVert\rho_\varepsilon*g-g\rVert_p\leqslant\omega_p(\varepsilon):=\sup_{\lvert h\rvert\leqslant\varepsilon}\lVert\tau_hg-g\rVert_p\)
\(\omega_p(\varepsilon)\underset{\varepsilon\to0}\longrightarrow0\)
